Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 2.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1

Mueve $a$ .

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 2.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 3.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

Paso 4.2.2

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve $a$ .

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.4

Multiplica $a$ por $a^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1

Mueve $a^{2}$ .

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 5.1.4.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.6

Multiplica $a$ por $a^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.6.1

Mueve $a^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 5.1.6.2.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.7

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.7.1

Mueve $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.7.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.8.3

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Paso 5.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

Paso 5.1.10

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

Paso 5.1.11

Multiplica $b$ por $b^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.11.1

Mueve $b^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

Paso 5.1.11.2

Multiplica $b^{2}$ por $b$ .

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Paso 5.1.11.2.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

Paso 5.1.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

Paso 5.1.11.3

Suma $2$ y $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Paso 5.2

Suma $a^{2} b$ y $a^{2} b$ .

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Paso 5.3

Resta $a^{3}$ de $- a^{3}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Paso 5.4

Suma $2 a^{2} b$ y $b a^{2}$ .

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Paso 5.4.1

Reordena $b$ y $a^{2}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

Paso 5.4.2

Suma $2 a^{2} b$ y $a^{2} b$ .

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$